Fórmula de Simpson no Scilab

O script seguinte foi feito para implementar o método de Simpson 1/3 e 3/8, a depender se o número de pontos é par ou ímpar, respectivamente. Como tarefa proposta a alunos de cálculo numérico, foi pedido que investigassem possíveis erros no script e que o aplicassem a determinados problemas, depois das possíveis correções.

Para usar o script acima, você precisa definir uma matriz com os pontos dados no problema de integração. Por exemplo,

M = [1, 0;2, 3;3, 8;4, 15;5, 24;6 35]

em que a primeira coluna contem as abcissas e a segunda, as ordenadas.

Em seguida, depois de executar o script, pode-se chamar a função criada da seguinte forma:

simpson(M)

Isso deve mostrar o valor da integral numérica procurada.

Obrigado pela leitura e até breve!

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Eliminação Gaussiana com Pivotamento Parcial

A eliminação gaussiana para solução de sistemas de equações lineares está entre os métodos mais eficientes. Escrevemos um script no Scinotes do Scilab (www.scilab.org) para efetuar o passo da eliminação progressiva.

Antes de eliminar os termos de uma coluna, a matriz sofre a operação de pivotamento, que consiste em colocar como pivot o elemento de maior valor absoluto entre os termos da coluna a sofrer a eliminação, excetuando os termos acima do termo da diagonal.

No próprio script preparamos as matrizes de entrada para as operações a serem aplicadas.

Segue-se, daí, a eliminação progressiva.

Depois de proceder a eliminação em cada coluna, a matriz passa por novo pivotamento.

A linha 51 é apenas para mostrar a matriz final, isto é, depois de pivotar e eliminar.

Uma referência importante em métodos numéricos são os livros de Chapra-Canale. 

O Lago do Pinto

No Lago do Pinto, três espécies estão distribuídas no mês inicial da observação: 

(1) 10.000 indivíduos da espécie x, 17.500 da espécie y, e 22.700 da z. 

(2) Uma diminuição da ordem de 1% na população x implica um aumento da ordem de 3% na população y. 

(3) Um aumento de 1% na população y provoca a diminuição em 2% na população z. 

Se, a partir do início da observação, a população x decai 3% em cada mês, qual será a população de cada espécie em 12 meses?

Bisseção no Scilab

 Olá! É um grande prestígio a sua visita.

Para tirar o máximo de proveito do nosso conteúdo, tenha papel e caneta em mãos. Faça anotações dos principais pontos e, depois, formule pequenos parágrafos sobre o que tiver anotado. Em seguida, revise o texto, dessa vez, formulando perguntas para que você mesmo responda ao final. Por último, ensine o que aprendeu a alguém. Isso tornará seu processo de aprendizagem mais efetivo.

O método da bisseção determina a raiz da equação f(x) = 0, desde que f(a)f(b) < 0 e a < x < b.
No script abaixo,

a e b são extremos direito e esquerdo, respectivamente, do intervalo;
maximo é o máximo de iterações permitidas;
tol é o tamanho máximo no intervalo depois da k-ésima iteração.

function bissection(e,d,maximo,tol)
    a=e;
    b=d;
    for k=0:maximo
        x  = (a+b)/2.;
        fa = a^3 - 2*a - 5;//a função avaliada é f(x) = x^3 - 2x - 5.
        fb = b^3 - 2*b - 5;
        fx = x^3 - 2*x - 5;//raiz encontrada depois de cem iterações: 2,09455.
        printf('\nx = %g, fa=%g e fb = %g',x,fa,fb);
        if (fa*fx<0) then
            b = x;
            printf('\n(V)a = %g, b = %g',a,b);
        else
            a = x;
            printf('\n(F)a = %g, b = %g',a,b);
        end
        if abs(b-a)<tol then
           k=maximo+1;
        end
        printf('\nIteração %g ',k-1);
        printf('\nApós %g iterações, a raíz é %g',k-1,x);
    end
endfunction
bissection(2.0,3.0,100,0.001);

Para aprender a implementar o método em uma planilha de cálculo (Excel ou Calc), clique aqui.

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Conheça o idealizador do Letionare.

* Publicação 100% humana (pode ter erros de digitação : ),.

StudenTub

O StudenTub, aquele estudante que usa o Youtube como principal fonte de estudos, tem um desafio a mais: resistir aos vídeos apelativos que são sugeridos junto com vídeos instrucionais.

Na foto abaixo, diversos vídeos sobre o tema estudado são sugeridos. Mas, no meio deles, um vídeo polêmico é inserido. Se o estudante cair na cilada, lá vão embora preciosos minutos do seu tempo de estudo.

Preste atenção na segunda linha da primeira coluna de vídeos sugeridos ao final de um vídeo sobre iteração linear. Dois atores muito famosos estão nele. Ao lado da tela principal, o mesmo vídeo é sugerido como segunda opção em meio a diversos vídeos instrucionais.

Há quem ignore completamente o vídeo, mas há muitos que irão clicar nele, só por curiosidade, e depois em outro, em outro... e lá se foi um dia de estudo pelo ralo cibernético da rede.

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Iteração Linear

O método da iteração linear se aplica na solução de equações não lineares, mas com algumas restrições. A condição de convergência, por exemplo, é bastante limitada e a definição de um intervalo para o atendimento dessa condição pode não ser muito fácil de ser obtido. Além disso, claro, a função auxiliar, g(x), definida com base na equação original, não é única e não temos aqui uma maneira de construí-la de forma a garantir a convergência do método.

O vídeo abaixo aborda a técnica por meio de um exemplo clássico, no qual é relativamente fácil descobrir o intervalo em que g(x) atende a condição de convergência. No entanto, o passo iterativo não mostra a atualização necessária da aproximação anterior.

[EDIÇÃO EM 2021]

O referido vídeo foi retirado do canal, por isso, não consta mais aqui.



[FIM DA EDIÇÃO]

O passo iterativo ficaria assim:

No Scilab, resolvemos o mesmo problema com o seguinte script:

O script é bastante pequeno, de forma que sua digitação irá requerer poucos minutos. Eu aconselho fortemente a digitação do script para melhor compreensão linha a linha do mesmo, em vez de simplesmente copiar e colar.

Em caso de dúvidas, entre em contato!

Até breve.

Aprendendo a Aprender

Este post é apenas para recomendar um outro post que encontrei na página do professor Leandro Piccini. Visite, leia e pratique. Garanto que os resultados vão aparecer.

http://estudareaprender.com/aprendendo-inteligencia-7-ensinamentos-do-prof-pier/

Depois, volte para me dizer o que você achou.

Boa leitura!

Cálculo Diferencial e Integral: por que aprender

Sabe aquela sensação de estar perdendo tempo estudando cálculo? Se a resposta for sim, então você realmente deve estar desperdiçando seu tempo. Isso porque ninguém estuda com qualidade qualquer coisa que pré-julgue negativamente.

Certa vez, mais ou menos em 1927, um rapaz perguntou ao professor de cálculo para quê serviam aqueles conhecimentos. Bom, essa é uma pergunta que deve se repetir diversas vezes, não apenas nas disciplinas de matemática, mas principalmente nelas, porque são difíceis de aprender. Logo, o custo de tempo e de empenho intelectual por parte do indivíduo devem ser maiores do que os de tantas outras disciplinas.

Assim como quem compra um bem e o acha caro, o sujeito que se vê diante do fato de precisar aprender cálculo diferencial e integral, quer saber: se vou investir nisso, que benefícios isso pode me trazer?

Então, nada mais justo do que informar aquele rapaz do segundo parágrafo que o cálculo diferencial e integral é simplesmente a porta de entrada para um vasto universo de conhecimento que já resolveu, resolve e ainda vai resolver os mais intrincados problemas em ciências (física, química, biologia, etc), engenharias (naval, aeroespacial, nuclear, etc), medicina, música, dança, economia, ciências sociais, psicologia, educação e até na própria matemática.

Ah... mas isso tudo ainda é inalcançável àquele ansioso rapaz do parágrafo segundo. E agora?



De volta ao dilema: aplicações simples que o rapaz possa compreender são apenas ilustrações que na prática não serão úteis; aplicações práticas utilizadas no mundo real são complexas demais para ele.

Então, como poderíamos ajudar aquele pobre rapaz a desenvolver algum entusiasmo por aquela matéria?

Primeiro de tudo, vamos ver como o sistema tem funcionado até agora por meio de uma analogia: somos alguém com uma ferramenta na mão procurando um objeto onde utilizá-la. Mas, deveríamos ser alguém com um objeto para o qual devêssemos desenvolver uma ferramenta (ou pelo menos descobrir essa ferramenta). Entendeu?

Bom, em 1927, aquele rapaz realmente teria algumas limitações para conseguir respostas por conta própria. Mas, no dia que escrevi este texto, estamos no século XXI, em 2016, com diversos dispositivos eletrônicos de busca disponíveis em uma imensa rede conectada mundialmente. Logo, se ainda há um sujeito que faz perguntas como a daquele rapaz de 1927, apresente a ele uma coisa chamada Google (rsrs). Brincadeira!

[Editado aos 28/09/2020]

Por questões de honestidade, sempre que edito uma postagem, informo ao leitor. 

Nesta parte, havia alguns links para sites com aplicações interessantes do cálculo.

Infelizmente, fui obrigado em retirá-los desta página.

Mas você pode encontrá-los facilmente em uma pesquisa sem propagandas no mecanismo de busca chamado duck duck go.

Abraços! 

[fim da edição]

Boa leitura, e volte sempre!

Agindo como Profissional

Um profissional, seja de que ramo for, muitas vezes é arrastado por sentimentos pessoais durante o desempenho de suas atividades. Em geral, o profissional, que deveria ser imparcial, é manipulado pela pessoa que é, carregada de preconceitos, preferências e vontades. Então fica o profissional prejudicado pela pessoa e a pessoa pelo profissional.

A isso chamo de incongruência entre pessoa e profissional. Mas, não há anormalidade nisso. O que falta ao profissional é a devida capacidade de separar-se do seu eu pessoa. Quando isso ocorre, muito provavelmente haverá algum tipo de injustiça.

Vamos a um exemplo. Uma jovem, conhecida minha, participou de uma seleção em certo escritório. Ela tinha melhor preparo que os demais candidatos e candidatas. Seu currículo preenchia cada requisito para a vaga. Mas, ela não foi selecionada. E, não o foi por um motivo claramente pessoal dos executores da seleção: eles acharam-na "bonita demais para o cargo". Se apenas os critérios profissionais tivessem sido levados em conta, certamente ela seria a primeira colocada na seleção. Mas, aquelas mentes carregadas de preconceito contra a mulher - e especialmente contra mulheres bonitas - seriam um obstáculo intransponível para  aquela jovem.

Diversos outros exemplos podem ser dados dentro de várias empresas e outras instituições. Um sujeito que tem algumas migalhas de poder nas mãos, levado por sentimentos abnóxios, decide prejudicar da maneira que puder aquele indivíduo com quem ele não tem boas relações pessoais. Ou porque acha o outro sujeito arrogante, ou porque o outro não lhe é subserviente e bajulador, ou mesmo por inveja ou outro motivo que o classifique como zureta, o detentor do pequeno poder resolve trovejar contra aquele.

Mas, no mundo profissional, todos estamos sujeitos a suportar o mau profissional. No entanto, não somos obrigados a agir como eles, empobrecendo o nosso trabalho e enodoando a nossa profissão.

Por isso, meu caro, antes de agir, pense: "estou agindo por motivos estritamente profissionais?"