MEDIANA EM DADOS AGRUPADOS

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Neste artigo você aprenderá:

1. O que é mediana.

2. Como determinar a mediana em dados não agrupados.

3. Como determinar a mediana em dados agrupados.

O que é a mediana

A mediana é o valor que divide os dados ao meio, isto é, a quantidade de dados que há antes da mediana é a mesma que há depois dela. Por isso, ela é classificada como uma medida de posição central, na estatística descritiva.

Outra medida de posição central muito conhecida é a média aritmética. A diferença da mediana para a média aritmética é essencialmente a sensibilidade aos valores extremos.

Em um conjunto de dados como 1, 2, 5, 12, 30, a média aritmética vale 10; já a mediana, vale 5. Se o conjunto de dados fosse 1, 2, 5, 7, 10, a média aritmética valeria 5, e a mediana valeria também 5. O que pudemos ver aí foi que a média aritmética sofreu fortemente a influência dos valores extremos, enquanto a mediana não sofreu efeito nenhum.

Como determinar a mediana em dados não agrupados

Quando os dados não estão agrupados em uma distribuição de frequências, devemos, primeiro, ordenar-lhes. Se o número de dados for ímpar, basta tomar localizado bem no centro, o pode ser determinado por um cálculo simples:

Acima, n é o número de dados. Portanto, se tivermos 5 dados, a mediana estará na terceira posição, pois (5 + 1)/2 = 3.

Caso o número de dados seja par, tomamos a média aritmética dos dois termos do meio. Assim, se tivermos 6 dados, tomamos a média entre o terceiro e o quarto, como no exemplo seguinte:

{1, 3, 6, 8, 9, 12}. A mediana está entre a posição 6 ÷ 2 = 3 e a 4. Portanto, tomamos 

(6 + 8) ÷ 2 = 7, como mediana.

Como determinar a mediana em dados agrupados

A primeira coisa a se fazer é localizar a classe mediana. Para isso: 

1. Dividimos o total de elementos em dois. Essa será a posição do elemento mediano. 

2. Depois, verificamos em qual classe essa posição está, usando as frequências acumuladas. A posição do elemento mediano dentro da classe mediana será a posição mediana menos os elementos das classes anteriores à classe mediana.

3. Dividimos a amplitude da classe pela sua frequência, supondo que as unidades ali são distribuídas uniformemente pelos elementos presentes na classe.

4. Somamos o limite inferior da classe mediana ao produto da posição mediana pelo resultado da divisão feita no item anterior.

Vamos a um exemplo.

Digamos que temos uma distribuição de comissões recebidas pelos meus afiliados no mês de abril de 2023. A distribuição é dada na figura abaixo:

Na distribuição de frequências acima. temos 125 afiliados, no total.

Dividindo o total por 2, temos a posição da mediana: 62,5.

Contando os afiliados a partir da primeira classe, sabemos que a classe mediana não é a primeira, pois só tem 10 afiliados. Na segunda, chegamos ao número de 27 afiliados. Considerando a terceira, temos 49 afiliados até ali. Na quarta classe, chegamos a 74 afiliados acumulados, o que nos diz que é essa a classe mediana.

Vamos supor que as 100 unidades de valor são distribuídas uniformemente dentro da classe mediana. Como ela tem 25 afiliados, cada um deve receber 100/25 = 4 unidades de valor.

Para chegar ao valor mediano de comissão, somamos o limite inferior da classe mediana ao número de unidades distribuídas até a posição do elemento mediano.

Essa posição é 62,5 - 49 = 13,5.

Portanto, o valor mediano de comissão é 450 + 13,5 x 4 = 504.

Fizemos um vídeo para ilustrar esses cálculos, resolvendo uma questão de concurso. Veja:

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DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS

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Nesta publicação, você aprenderá a construir uma distribuição de frequências.

Uma distribuição de frequências é uma forma de apresentação de dados agrupados em classes. Uma classe é um intervalo numérico ou uma categoria. A quantidade de ocorrências dentro do intervalo ou em dada categoria deve ser anotada em uma coluna ao lado da respectiva classe.

Assim, temos duas colunas básicas, no início: a primeira com os rótulos das classes (que podem ser intervalos numéricos ou categorias), a segunda com as frequências.

A partir da segunda, podemos obter a terceira coluna, a de frequências acumuladas, que nada mais é do que o local de registro soma das frequências de uma classe a todas as frequências das classes anteriores.

Se tivermos três classes na categoria cor, azul, amarelo e vermelho, nesta ordem, se tiver 2 em azul, 2 em amarelo, e 3 em vermelho, na coluna de frequências acumuladas teremos os números 2, 4 e 7, respectivamente.

Na coluna de relativa percentual, dividimos a frequência de cada classe pelo total das frequências, multiplicando cada resultado por cem, para usarmos a notação percentual.

A coluna acumulada percentual tem seu preenchimento de forma similar ao que se fez na acumulada simples.

Para cada classe, pode-se calcular o ponto médio, que nada mais é do que a divisão por dois da soma dos limites da respectiva classe, no caso de classes compostas por intervalos numéricos. Caso tivéssemos uma classe definida pelo intervalo de 5 a 10, o ponto médio seria 7,5, que é o resultado de (5 + 10)/2.

No vídeo, fazemos um exemplo.

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SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE EM PLANILHA DE CÁLCULO

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Nesta publicação, você aprenderá:

• O que é o Sistema de Amortização Constante
• Como calcular o valor da amortização
• Como calcular os juros do período
• Como calcular o o valor da prestação decrescente
• Como calcular o saldo devedor

O que é o Sistema de Amortização Constante

Sistemas de amortização são metodologias de cálculo para a quitação de uma dívida de curto, médio ou longo prazo. No caso do Sistema de Amortização Constante (SAC), a amortização é calculada a partir do valor total da dívida. Essa amortização deverá ser a mesma em todos os períodos. O que provoca a variação no valor da prestação, a cada período, são os juros apurados no período, que são acrescidos à amortização para formar o valor da prestação.

Como calcular o valor da amortização

A amortização é obtida pela divisão do valor total da dívida pelo número de períodos acertados para a quitação da dívida. Por exemplo, se o valor total a ser financiado for de R$ 108.000,00 e o número de períodos for 120, temos que a amortização é de R$ 900,00.

Como calcular os juros do período

Os juros de cada período são calculados pela multiplicação da taxa de juros ao período pelo valor do saldo devedor do período anterior. No nosso exemplo, R$ 108.000,00 era o total da dívida, da qual foram amortizados R$ 900,00, restando (saldo devedor) R$ 107.100,00. No período seguinte, calculamos os juros com base nesse último valor.

Como calcular o o valor da prestação decrescente

O valor da prestação, no SAC, decresce a cada período. Isso se dá porque o saldo devedor diminui, diminuindo assim o valor dos juros a serem pagos. A prestação é a soma da amortização com os juros. Como os juros são menores a cada período, a prestação também diminui a cada período.

Como calcular o saldo devedor

O saldo devedor é simplesmente o valor da dívida presente menos o valor amortizado. No primeiro período, temos que o total financiado é diminuído da amortização do período. No período seguinte, esse valor é novamente atualizado, retirando-se mais uma parcela de amortização.

No vídeo, mostramos os cálculos necessário em uma planilha eletrônica, que pode ser Excel ®, Calc do LibreOffice, ou Planilhas Google.

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TABELA PRICE - COMO CALCULAR O VALOR DA PRESTAÇÃO E O SALDO DEVEDOR

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Nesta publicação, você verá como montar uma Tabela Price, partindo do valor do bem, da taxa de juros e do número de prestações.

O que é Tabela Price?

É um método de quitação de uma dívida, aplicada a financiamentos de curto ou médio prazo. Há a exceção de sua aplicação em financiamentos imobiliários que, em geral, são de logo ou longuíssimo prazo, mas na maioria das vezes, esse método será aplicado a financiamentos de eletrodomésticos, móveis e até de roupas.

É bom lembrar que muitos vendedores usam a expressão "em n vezes sem juros" para atrair o comprador, mas é tecnicamente impossível vender parcelado sem juros, pois isso quebraria a razão de ser dos estudos na área financeira, que é a variação do dinheiro ao longo do tempo.

Como Calcular o Valor da Prestação na Tabela Price?

A prestação é fixa, o que varia é o valor amortizado e o valor pago de juros. O valor amortizado aumenta à medida que o valor pago de juros diminui, o que é natural devido ao decréscimo do saldo devedor.

O valor da prestação é dado pelo produto de um termo, que chamaremos de multiplicador, pelo valor total a ser financiado. Denotemo-lo pela letra k.

Na fórmula acima, n é o número de prestações. Supondo que o valor financiado seja R$ 108.000.00, em 120 meses, a uma taxa de juros de 0,72% ao mês, teríamos o valor da prestação igual a R$ 1.347,15. Na primeira prestação, os juros são calculados sobre o valor financiado. Logo, temos R$ 777,60 em juros. Com esses dois valores, calculamos a amortização no primeiro período, que foi de R$ 569,55. 

Atualizamos o saldo devedor, retirando do valor financiado o valor da amortização: 

R$ (108.000 - 569,55) = R$ 107.430,45.

Os juros do próximo período são apurados com base no saldo devedor atual.

Como Fazer em uma Planilha?

Minha sugestão é que você disponha os títulos na primeira linha, conforme a figura seguinte:

Para calcular o multiplicador, alguns dados precisam já terem sido digitados: o primeiro saldo devedor (célula E2), a taxa de juros (célula F2), o número de prestações (célula F4). Na célula F10, digitei:

=(1+F2)^F4*F2/((1+F2)^F4-1)

Na célula D3, a primeira prestação (que será igual às demais), foi obtida pela multiplicação:

=F10*E2

O valor dos juros do primeiro período foram calculados pela expressão:

=$F$2*E2

Os cifrões, acima, foram utilizados para fixar a célula da taxa, pois será reutilizada nos próximos períodos.

A amortização, portanto, ficou:

=D3-C3

Por último, o saldo devedor deve ser atualizado, na célula E3:

=E2-B3

Nas demais linhas, segue-se de forma análoga.

No final, seu último saldo devedor deve ser zero, do contrário, seus cálculos devem conter algum erro.

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