Exemplo de Integral Imprópria com Substituição Trigonométrica.

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Nesta publicação, você aprenderá:

1. Tratar do caso em que um dos limites de integração tende ao infinito.

2. Efetuar uma substituição trigonométrica.

3. Calcular a derivada da função tangente.

1. Tratar do caso em que um dos limites de integração tende ao infinito.

Quando o integrando é descontínuo no intervalo de integração, podemos avaliar o valor da integral trocando o ponto em que ocorre a descontinuidade por uma variável, na qual será aplicada um limite quando esta variável tende para o ponto de descontinuidade.

No caso de um dos limites tender ao infinito, fazemos algo parecido, isto é, substituímos o símbolo infinito por uma variável e, depois de resolver a integral usando esta variável, fazemo-la tender ao infinito.

2. Efetuar uma substituição trigonométrica.

Quando há a possibilidade de usar relações trigonométricas para resumir a expressão no integrando, fazemos uma substituição trigonométrica. A escolha da função trigonométrica depende da relação que se deseja usar.

Na figura dada no tópico anterior, há uma relação envolvendo a soma da unidade com o quadrado da tangente. Por isso, escolhemos a função tangente para efetuar a substituição trigonométrica.

Como estamos trabalhando com a tangente, o ângulo não pode assumir o valor π/2, portanto, faz sentido para o exemplo de integral que temos. Assim, fazendo o ângulo tender para π/2, temos o comportamento de x tendendo para +⧞.

3. Calcular a derivada da função tangente.

A derivada da função tangente pode ser obtida pela derivação do quociente senθ/cosθ. Veja na figura seguinte os passos da derivação.

Assim, voltando à nossa substituição:

Substituindo na expressão original, temos:

Acompanhe passo a passo no vídeo:

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CONVERTER OCTAL PARA BINÁRIO, HEXADECIMAL PARA BINÁRIO

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Neste artigo você aprenderá a:

1. Converter um número na base octal para a base binária.
2. Converter um número na base hexadecimal para a base binária.

CONVERTER UM NÚMERO NA BASE OCTAL PARA A BASE BINÁRIA

Primeiramente, temos de ter em mente que cada algarismo na base octal reúne três bits. Isto significa que precisaremos de três potências de 2 para escrever o número na base octal. A forma geral é a seguinte:

Acima, D é o dígito em octal, e bit pode assumir 0 ou 1, de acordo com o dígito. Caso o dígito fosse 3, teríamos a sequência de bits 011, pois 0 x 4 + 2 x 1 + 1 x 1 = 3. Vale lembrar que se esse fosse o primeiro algarismo, você não escreveria o primeiro zero, ficando apenas 11 na sua representação na base binária.

CONVERTER UM NÚMERO NA BASE HEXADECIMAL PARA A BASE BINÁRIA

Como na base octal, usaremos potências de 2, mas agora em número de quatro, pois na base hexadecimal cada dígito agrupa quatro bits. Assim, para converter o número 1F, escrevemos zeros para as três potências de dois mais a esquerda, isto é, 0 x 8 + 0 x 4 + 0 x 2, e 1 para a potência zero de dois, representando o dígito 1. 

Já para representar  o F, teríamos de usar 1 para todas as potências de dois, pois 1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 1 x 1 é igual a 15, valor representado pelo F, na base hexadecimal.

Desse modo, o número 1F na base hexadecimal é representado na base binária por 11111.

De maneira geral, escrevemos:

Novamente, a sequência de bits da maior para a menor potência representa o algarismo na base binária.

Uma planilha pode ajudar você a acelerar sua aprendizagem. Preparei uma em ODS que pode ser aberta numa planilha do Google.

Nela você poderá converter rapidamente de octal para binário e de hexadecimal para binário, apenas escolhendo os bits corretos.

Na primeira coluna amarela, dispomos os algarismos do número que se deseja converter. Na segunda coluna amarela, os mesmos algarismos devem aparecer, se forem digitados os coeficientes corretos.

Na linha azul, dispomos as respectivas potências de dois, de acordo com a base. No corpo branco de ambas as tabelas (de B3 a D5 na octal, e de B10 a E12 na hexadecimal), digitamos os bits necessários para que a soma dos produtos de cada bit pela respectiva potência de dois resulte no algarismo desejado.

A sequência de bits concatenada aparece logo abaixo da tabela.

Você tem acesso gratuito à planilha acima neste link: Planilha de Conversão. 

Assista ao vídeo no meu canal do YouTube.

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CONVERTER BINÁRIO PARA OCTAL E CONVERTER BINÁRIO PARA HEXADECIMAL

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Neste texto, você aprenderá:

1. O que são bases numéricas
2. Como converter um número da base binária para a octal
3. Como converter um número da binária para a hexadecimal

O que são bases numéricas

Quando escrevemos um número, em geral não pensamos em termos de base numérica, pois estamos acostumados a escrever os números na forma como nos ensinaram desde crianças. Mesmo assim, prestando um pouco atenção, podemos notar que o número dez tem uma grande importância nos números que usamos no cotidiano.

Isso ocorre porque utilizamos a base decimal, ou seja, uma base com dez algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Com esses dez algarismos, expressamos todos os números de que precisamos na vida comum. Não precisamos escrever:

Mas é importante saber que qualquer número que escrevemos em um dia comum pode ser escrito como soma de produtos de algarismos por potências de dez.

Além da base decimal, existem outras bases, menos intuitivas, como a base binária, a base octal, e a base hexadecimal.

A base binária tem apenas dois algarismos: 0, 1. Ela é usada por computadores porque podem representar dois estados possíveis e, para os computadores, é muito mais simples usar apenas dois estados do que usar dez.

Mas se o computador usa a base binária, e nós usamos a base decimal, por que nos preocupamos com outras bases?

A base octal serve para compactar a escrita em bits. Ela facilitava a escrita de códigos em linguagem de máquina.

A base hexadecimal passou a ser mais usada pelos programadores devido a praticidade que ela promove ao programar em linguagem de máquina, pois a conversão de hexadecimal para binário é mais simples do que de outras bases para a binária.

Como converter um número da base binária para a octal

De maneira geral, usamos as potências de dois, iniciando em zero e indo até dois. Por exemplo:

Acima, após somarmos os produtos e agruparmos os algarismos, temos; (116)8. Atenção: não leia como cento e dezesseis. A leitura é simplesmente dígito a dígito: um, um, seis.

Para converter qualquer número na base binária para a octal, portanto, é necessário tomar grupos de três bits, da direita para a esquerda, escrever a soma dos produtos de cada algarismo pela potência de dois, de acordo com a posição do algarismo, justapor cada soma, na mesma ordem dos agrupamentos de três bits. No nosso exemplo, o primeiro bit ficou desmembrado, e ali usamos a potência zero para o dois, por isso, apenas repetimos o número 1.

Como converter um número da base binária para a hexadecimal

A conversão da base binária para a hexadecimal é análoga à feita na seção para converter em octal. No entanto, usamos quatro bits, em vez de três. Por isso, a base hexadecimal é mais conveniente para escrever em linguagem de máquina, pois um byte tem exatamente oito bits, ou seja, duas vezes grupos de quatro bits.

No vídeo abaixo, mostramos dois exemplos de conversão entre a base binária e as bases octal e hexadecimal.

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