FATOR INTEGRANTE

Olá! É sempre um prestígio ter você aqui.

Nesta publicação, você aprenderá a resolver uma equação diferencial linear de primeira ordem por meio de fator integrante.

Uma equação diferencial linear de primeira ordem tem a forma:

$\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}+p(t)y=q(t)$

(1)

Na EDO (1), p e q são funções contínuas.

O que você precisa se lembrar é da regra de produto para derivação. Isto é:

$[\mu \mathrm{.}y]\text{'}=\mu y\text{'}+\mu \text{'}y$

(2)

Observando a equação (1), não vemos a forma da equação (2). Por isso, tomaremos uma função genérica µ. Assim, a equação (1) torna-se:

$\mu \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}+\mu p(t)y=\mu q(t)$

(3)

Vamos considerar agora que a equação (3) teve origem na regra do produto mencionada acima. Neste caso, quem seria a derivada de µ? Muito bem!

$\mu \text{'}=\mu p(t)$

(4)

Perceba que agora temos uma equação separável, muito fácil de resolver. Acompanhe:

$\frac{\mu \text{'}}{\mu }=p(t)\to \ln \text{|}\mu \text{|}=\int p(t)\mathit{dt}+C_0$

(5)

Poderíamos considerar nula a constante C0 que aparece do lado direito da equação (5) e dizer que queremos uma função que satisfaça as condições necessárias e seja o mais simples possível. Mas você poderá ver que essa constante se perde no final de qualquer forma.

Lembre-se de que queremos isolar µ, então, aplicamos a função exponencial a ambos os membros da última equação em (5).

$\text{|}\mu \text{|}=\exp (\int p(t)\mathit{dt}+C_0)=\exp (C_0)\exp (\int p(t)\mathit{dt})$

(6)

O membro mais à direita de (6) vem diretamente da regra que diz que, no produto de bases iguais, somam-se os expoentes.

Podemos considerar uma constante C1 = ±exp(C0). Assim:

$\mu =C_1\exp (\int p(t)\mathit{dt})$

(7)

Trocando o primeiro membro da equação (3) pelo primeiro membro da equação (2), temos:

$[\mu y]\text{'}=\mu q(t)$

(8)

Integrando a equação (8), temos:

$\mu y=\int \mu q(t)\mathit{dt}+C_2$

(9)

Antes de substituir µ, vamos isolar y, que é a função procurada.

$y=\frac{1}{\mu }\int \mu q(t)\mathit{dt}+\frac{C_2}{\mu }$

(10)

Vamos substituir a µ encontrada na equação (7) em suas posições correspondentes na equação (10), ficando com a expressão:

$y=\frac{\int C_1\exp (\int p(t)\mathit{dt})q(t)\mathit{dt}}{C_1\exp (\int p(t)\mathit{dt})}+\frac{C_2}{C_1\exp (\int p(t)\mathit{dt})}$

(11)

Você deve se lembrar de que uma constante após o símbolo da integral pode ser escrita antes desse símbolo (pois a integral é, em sua origem, uma soma, portanto, a constante pode ser “colocada em evidência”). Isso permite que dividamos C1 por C1, no primeiro termo da soma na equação (11). Além disso, podemos chamar o quociente C2/C1 de C. Finalmente, temos nossa expressão final:

$y=\frac{\int \exp (\int p(t)\mathit{dt})q(t)\mathit{dt}}{\exp (\int p(t)\mathit{dt})}+\frac{C}{\exp (\int p(t)\mathit{dt})}$

(12)

Para tornar a expressão de y, em (12), mais amigável, façamos:

$\int p(t)\mathit{dt}=P\text{e}\exp (\int p(t)\mathit{dt})=e^P$

(13)

Com isso, podemos reescrever (12) na seguinte forma:

$y=\frac{\int e^{P}q(t)\mathit{dt}}{e^P}+\frac{C}{e^P}$

(14)

Alternativamente:

$y=e^{-P}\int e^{P}q(t)\mathit{dt}+C{e}^{-P}$

(15)

Desejo a você uma excelente aprendizagem!, pois aprender é a nossa melhor habilidade.

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