Desvendando o Mistério das Raízes: Método da Posição Falsa Implementado em Python, Sclab e Excel

Olá! É sempre um prestígio a sua visita.

Para tirar o máximo de proveito do nosso conteúdo, tenha papel e caneta em mãos. Faça anotações dos principais pontos e, depois, formule pequenos parágrafos sobre o que tiver anotado. Em seguida, revise o texto, dessa vez, formulando perguntas para que você mesmo responda ao final. Por último, ensine o que aprendeu a alguém. Isso tornará seu processo de aprendizagem mais efetivo.

1. Um exemplo de determinação de raízes de uma equação transcendente: Vamos considerar a equação transcendente $�(�)={�}^{�}-2�=0$ para encontrar suas raízes.

3. Como aplicar a fórmula: O método da posição falsa envolve a seleção de dois pontos iniciais x0​ e ${�}_1$ , calculando $�({�}_0)$ e $�({�}_1)$ , e então ajustando esses pontos para se aproximar da raiz da equação.

4. O que é o método: O método da posição falsa, também conhecido como método de interpolação linear, é uma técnica numérica para encontrar raízes de equações transcendentes. Ele combina os conceitos do método da bisseção com a interpolação linear para convergir rapidamente para a raiz desejada.

5. Qual a história do surgimento desse método: O método da posição falsa tem suas origens na antiguidade, mas sua formulação moderna é frequentemente atribuída a Thomas Simpson, um matemático britânico do século XVIII.

6. Usando o computador para aplicar o método:

• Script em Scilab para implementar o método: Utilize as funções de interpolação linear do Scilab para calcular os novos pontos iterativos até alcançar a precisão desejada.
7. function [root, iterations] = posicao_falsa(f, a, b, tol, max_iter)

   iterations = 0; fa = feval(f, a); fb = feval(f, b); while abs(b - a) > tol && iterations < max_iter c = (a * fb - b * fa) / (fb - fa); fc = feval(f, c); if fc * fb < 0 a = c; fa = fc; else b = c; fb = fc; end iterations = iterations + 1; end root = (a + b) / 2; endfunction // Exemplo de uso: f = @(x) exp(x) - 2 * x; a = 0; b = 2; tolerance = 1e-6; max_iterations = 100; [root, iterations] = posicao_falsa(f, a, b, tolerance, max_iterations); disp('Raiz aproximada: ' + string(root)); disp('Número de iterações: ' + string(iterations));

• Código em Python para implementar o método: Escreva uma função em Python que realiza os cálculos iterativos necessários para aproximar a raiz da equação.

  def posicao_falsa(f, a, b, tol, max_iter):

 iterations = 0

fa = f(a)

 fb = f(b)

   while abs(b - a) > tol and iterations < max_iter:

        c = (a * fb - b * fa) / (fb - fa)

        fc = f(c)

        

        if fc * fb < 0:

            a = c

            fa = fc

        else:

            b = c

            fb = fc

        

        iterations += 1

    

    root = (a + b) / 2

    return root, iterations

# Exemplo de uso:

import math

def f(x):

    return math.exp(x) - 2 * x

a = 0

b = 2

tolerance = 1e-6

max_iterations = 100

root, iterations = posicao_falsa(f, a, b, tolerance, max_iterations)

print("Raiz aproximada:", root)

print("Número de iterações:", iterations)

 

Usando o MS-Excel para implementar o método: Crie uma planilha no Excel para inserir os valores iniciais e as fórmulas necessárias para atualizar os pontos iterativos até convergir para a raiz.

Veja um exemplo de como implementar o método da posição falsa usando o Microsoft Excel:

1. 1. Primeiro, abra o Microsoft Excel e crie uma planilha.

2. 2. Na primeira coluna, insira os números das iterações (por exemplo, de 1 a 100, dependendo do número máximo de iterações que você deseja permitir).

3. 3. Na segunda coluna, insira os valores de ${�}_0$.

4. 4. Na terceira coluna, insira os valores de ${�}_1$.

5. 5. Na quarta coluna, insira os valores de $�({�}_0)$.

6. 6. Na quinta coluna, insira os valores de $�({�}_1)$.

7. 7. Na sexta coluna, insira os valores de $�$, calculados como $�=\frac{{�}_0\cdot �({�}_1)-{�}_1\cdot �({�}_0)}{�({�}_1)-�({�}_0)}$.

8. 8. Na sétima coluna, insira os valores de $�(�)$, calculados com base nos valores de $�$ da coluna anterior.

9. 9. Na oitava coluna, insira uma fórmula para determinar se a raiz foi encontrada ou não. Por exemplo, você pode usar a função IF para verificar se o produto de $�(�)$ e $�({�}_1)$ é menor que zero.

10. 10. Repita as etapas 7 a 9 até que a diferença entre ${�}_0$ e ${�}_1$ seja menor que a tolerância especificada ou até atingir o número máximo de iterações.

Agora, compartilhe o que você aprendeu porque APRENDER É A NOSSA MELHOR HABILIDADE! Aprofundar nosso conhecimento em métodos numéricos nos capacita a resolver uma variedade de problemas complexos e aprimora nossa compreensão da matemática aplicada. Vamos continuar explorando e expandindo nossas habilidades para alcançar novos patamares de excelência! 📚💡

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* Publicação facilitada pelo ChatGPT da OpenIA (digitação a partir de direcionamento humano).