Soluções dos exercícios 4 738 197 50

  de matrizes e determinantes

 

1. Determinante de $�$:

   $$�=\left[\begin{array}{cc}3& 2\\ 5& 4\end{array}\right]$$

   Usando a fórmula do determinante para matrizes $2\times 2$:

   $$\text{det}(�)=(3\times 4)-(2\times 5)=12-10=2$$

2. Verdadeiro ou Falso:

   • Verdadeiro. Uma matriz é simétrica se e somente se é quadrada e igual à sua transposta.
   • Falso. A soma de duas matrizes simétricas nem sempre é simétrica.

3. Transposta de $�$:

   $$�=\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 3& 4\end{array}\right]$$

   A transposta de $�$ é:

   $${�}^{�}=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& 4\end{array}\right]$$

4. Inversa de $�$:

   $$�=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$$

   O determinante de $�$ é $\text{det}(�)=(1\times 4)-(2\times 3)=4-6=-2$, que não é zero. Portanto, $�$ é inversível. A inversa de $�$ é dada por:

   $${�}^{-1}=\frac{1}{\text{det}(�)}\times \text{adj}(�)$$
   $$=\frac{1}{-2}\times \left[\begin{array}{cc}4& -2\\ -3& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1.5& -0.5\end{array}\right]$$

5. Inversa de $�$:

   $$�=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 4\end{array}\right]$$

   O determinante de $�$ é $\text{det}(�)=(2\times 4)-(3\times 1)=8-3=5$, que não é zero. Portanto, $�$ é inversível. A inversa de $�$ é dada por:

   $${�}^{-1}=\frac{1}{\text{det}(�)}\times \text{adj}(�)$$
   $$=\frac{1}{5}\times \left[\begin{array}{cc}4& -3\\ -1& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0.8& -0.6\\ -0.2& 0.4\end{array}\right]$$

6. Sistema de Equações Lineares: O sistema de equações lineares é:

   $$\{\begin{array}{l}2�+3�=8\\ 4�-2�=2\end{array}$$

   Resolvendo o sistema, obtemos $�=2$ e $�=2$.

7. Soma dos Elementos da Diagonal Principal de $�$: A soma dos elementos da diagonal principal de $�$ é $1+5+9=15$.

8. $3�-2�$:

   $$�=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 4\end{array}\right]$$
   $$�=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$
   $$3�-2�=3\times \left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 4\end{array}\right]-2\times \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}6& 3\\ 9& 12\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4& 3\\ 9& 10\end{array}\right]$$

9. Matriz Idempotente $�$:

   $$�=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$$

   Para ser idempotente, ${�}^2$ deve ser igual a $�$:

   $${�}^2=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}7& 10\\ 15& 22\end{array}\right]$$

   Como ${�}^2$ não é igual a $�$, a matriz $�$ não é idempotente.

10. Produto de Matrizes $�$:

    $$�=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}19& 22\\ 43& 50\end{array}\right]$$

11. ${�}^2$:

    $$�=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& 5\end{array}\right]$$
    $${�}^2=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& 5\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}16& 21\\ 28& 37\end{array}\right]$$

12. Inversa de $�$:

    $$�=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$$

    O determinante de $�$ é $\text{det}(�)=(0\times 0)-(1\times 1)=-1$, que não é zero. Portanto, $�$ é inversível. A inversa de $�$ é a própria matriz $�$.

13. Sistema de Equações Lineares Usando Matriz Inversa: O sistema de equações lineares é o mesmo que o problema 6. A solução é $�=2$ e $�=2$.

14. Valor de $�$ para a Inversibilidade de $�$:

    $$�=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ �& 3\end{array}\right]$$

    O determinante de $�$ deve ser diferente de zero para que $�$ seja inversível:

    $$\text{det}(�)=(2\times 3)-(1\times �)=6-�\mathrm{\ne }0$$

    Logo, $�$ não pode ser igual a 6 para que $�$ seja inversível.

15. Matriz Adjunta de $�$:

    $$�=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$$
    $$\text{adj}(�)=\left[\begin{array}{cc}4& -2\\ -3& 1\end{array}\right]$$

16. Matriz Ortogonal $�$: Uma matriz é ortogonal se sua inversa é igual à sua transposta. Vamos verificar se $�$ é ortogonal:

    $$�=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$$

    A inversa de $�$ é:

    $${�}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1.5& -0.5\end{array}\right]$$

    A transposta de $�$ é:

    $${�}^{�}=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right]$$

    Como ${�}^{-1}\mathrm{\ne }{�}^{�}$, a matriz $�$ não é ortogonal.

17. Determinante da Matriz Inversa de $�$:

    $$�=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 4\end{array}\right]$$

    O determinante de $�$ é $\text{det}(�)=(2\times 4)-(3\times 1)=8-3=5$, que não é zero. Portanto, $�$ é inversível. A determinante de sua inversa é $\frac{1}{\text{det}(�)}=\frac{1}{5}$.

18. Produto Escalar das Linhas de $�$:

    $$�=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$$

    O produto escalar dos vetores representados pelas linhas de $�$ é $(1\times 2)+(2\times 4)=2+8=10$.

19. Inversa de $�$:

    $$�=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 4\end{array}\right]$$

    O determinante de $�$ é $\text{det}(�)=(2\times 4)-(1\times 3)=8-3=5$, que não é zero. Portanto, $�$ é inversível. A inversa de $�$ é dada por:

    $${�}^{-1}=\frac{1}{\text{det}(�)}\times \text{adj}(�)$$
    $$=\frac{1}{5}\times \left[\begin{array}{cc}4& -1\\ -3& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0.8& -0.2\\ -0.6& 0.4\end{array}\right]$$

20. Traço de $�$:

    $$�=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right]$$

    O traço de $�$ é a soma dos elementos da diagonal principal de $�$, que é $1+3=4$.

2. Determinante de $�$:

   $$�=\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 4\end{array}\right]$$

   Usando a definição formal do determinante:

   $$\text{det}(�)=(3\times 4)-(1\times 2)=12-2=10$$

3. Determinante de $�$ usando método recursivo:

   $$�=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]$$

   Usando o método recursivo:

   $$\text{det}(�)=1\times \text{det}\left(\left[\begin{array}{cc}5& 6\\ 8& 9\end{array}\right]\right)-2\times \text{det}\left(\left[\begin{array}{cc}4& 6\\ 7& 9\end{array}\right]\right)+3\times \text{det}\left(\left[\begin{array}{cc}4& 5\\ 7& 8\end{array}\right]\right)$$
   $$=1\times ((5\times 9)-(6\times 8))-2\times ((4\times 9)-(6\times 7))+3\times ((4\times 8)-(5\times 7))$$
   $$=1\times (45-48)-2\times (36-42)+3\times (32-35)$$
   $$=1\times (-3)-2\times (-6)+3\times (-3)$$
   $$=-3+12-9=0$$

4. Determinante de $�$ usando a definição formal:

   $$�=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 3& -1& 2\\ 1& 4& 3\end{array}\right]$$
   $$\text{det}(�)=2\times (-1)\times 3+0\times 2\times 1+1\times 3\times 4-1\times (-1)\times 1-2\times 0\times 1-3\times 4\times 2$$
   $$=-6+0+12+1+0-24=7$$

5. Determinante de $�$ usando método recursivo:

   $$�=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 4& 0& 1\\ -1& 2& 5\end{array}\right]$$
   $$\text{det}(�)=2\times \text{det}\left(\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& 5\end{array}\right]\right)-1\times \text{det}\left(\left[\begin{array}{cc}4& 1\\ -1& 5\end{array}\right]\right)+3\times \text{det}\left(\left[\begin{array}{cc}4& 0\\ -1& 2\end{array}\right]\right)$$
   $$=2\times ((0\times 5)-(1\times 2))-1\times ((4\times 5)-(1\times -1))+3\times ((4\times 2)-(0\times -1))$$
   $$=2\times (0-2)-1\times (20+1)+3\times (8-0)$$
   $$=2\times (-2)-1\times (21)+3\times (8)$$
   $$=-4-21+24=-1$$

6. Determinante de $�$ usando a definição formal (ordem 4):

   $$�=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 5& 6& 7& 8\\ 9& 10& 11& 12\\ 13& 14& 15& 16\end{array}\right]$$